大学入学共通テスト総合演習（数学・理科・英語）

문제 1: 大学入学共通テストの実施日程と、各教科の一般的な配点・得点体系はどのようになっていますか？

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정답

毎年1月中旬の土・日の2日間にわたって実施され、各科目は原則100点満点（外国語リスニング等を含む科目は傾斜配点あり）です。

大学入試センター（DNC）が主催し、国公立大学の出願や私立大学の共通テスト利用入試に幅広く利用されます。

문제 2: 2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ の頂点の座標と軸の方程式を求めてください。

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정답

頂点の座標は $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)$ 、軸の方程式は $x = -\frac{b}{2a}$ です。

平方完成を行うと $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$ となり、対称軸や定義域における最大値・最小値の決定に直結します。

문제 3: 三角形 $ABC$ における余弦定理の基本公式（辺 $a$ に着目）を答えてください。

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정답

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ です。

角 $A$ について解くと $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ となり、3辺の長さから角の大きさを求めるときに多用されます。

문제 4: 三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とするとき、正弦定理の公式を答えてください。

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정답

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ です。

対辺と対角の比が外接円の直径 $2R$ に常に一致する定理であり、三角形の未知の辺や角を導出する基礎です。

문제 5: 事象 $A$ が起きた下での事象 $B$ の条件付き確率 $P_A(B)$ の定義式を答えてください。

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정답

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ （ただし $P(A) > 0$ ）です。

共通テスト数学I・Aの「場合の数と確率」で最も出題頻度の高い重要公式です。原因の確率（ベイズの定理）の基礎となります。

문제 6: 放物線 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める「 $\frac{1}{6}$ 公式」を答えてください。

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정답

$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ （ただし $\alpha < \beta$ ）です。

$\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3$ の積分計算結果を効率的に活用する速算公式です。

문제 7: 平面ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2)$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の定義式と成分表示を答えてください。

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정답

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2$ です。

垂直条件（ $\theta = 90^\circ$ ）では内積が $0$ 、平行条件では成分の比率が一致します。

문제 8: 等差数列の初項 $a$ 、公差 $d$ 、項数 $n$ のときの和の公式 $S_n$ を答えてください。

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정답

$S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} = \frac{n}{2}(a + l)$ （ $l$ は末項）です。

初項から末項までのペアの和が一定になる性質を利用して導出されます。

문제 9: 等比数列の初項 $a$ 、公比 $r \neq 1$ 、項数 $n$ のときの和の公式 $S_n$ を答えてください。

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정답

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。

$S_n - rS_n$ の差分をとることで中間項がすべて相殺される性質から導かれます。

문제 10: 等加速度直線運動の3大基本公式を答えてください。

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정답

① $v = v_0 + at$ 、② $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ 、③ $v^2 - v_0^2 = 2ax$ です。

初速度 $v_0$ 、加速度 $a$ 、時間 $t$ 、変位 $x$ 、速度 $v$ の関係を表し、物理基礎・物理の力学問題の根幹をなします。

문제 11: 運動方程式 $F = ma$ において、質量 $m$ の物体に作用する合力 $F$ と加速度 $a$ の関係を説明してください。

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정답

物体に生じる加速度は合力 $F$ の大きさに比例し、向きは合力と同じ向きになります。比例係数が物体の質量 $m$ です。

ニュートンの第2法則であり、すべての力学現象の解析（自由落下、斜面上の運動、摩擦力を含む運動）の基礎方程式です。

문제 12: 理想気体の状態方程式と、各記号の意味および単位を答えてください。

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정답

$PV = nRT$ （ $P$ : 圧力 [ $\text{Pa}$ ]、 $V$ : 体積 [ $\text{m}^3$ ]、 $n$ : 物質量 [ $\text{mol}$ ]、 $R$ : 気体定数、 $T$ : 絶対温度 [ $\text{K}$ ]）です。

化学基礎・化学および物理の熱力学で頻出の基本法則です。標準状態（ $0^\circ\text{C}, 1.013 \times 10^5\text{ Pa}$ ）では $1\text{ mol}$ あたり $22.4\text{ L}$ を占めます。

문제 13: 物質量（モル数 $n$ ）と質量 $m$ 、モル質量 $M$ の関係式を答えてください。

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정답

$n = \frac{m}{M}$ （物質量 $[\text{mol}] = \frac{\text{質量 } [\text{g}]}{\text{モル質量 } [\text{g/mol}]}$ ）です。

アボガドロ定数 $N_A \approx 6.02 \times 10^{23}/\text{mol}$ より、粒子数 $N = n \times N_A$ とも相互変換できます。

문제 14: 中和滴定において、 $a$ 価の酸 $V\text{ mL}$ （濃度 $c\text{ mol/L}$ ）と $b$ 価の塩基 $V'\text{ mL}$ （濃度 $c'\text{ mol/L}$ ）の完全中和条件を答えてください。

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정답

$a \cdot c \cdot \frac{V}{1000} = b \cdot c' \cdot \frac{V'}{1000}$ （酸が出す $\text{H}^+$ の物質量 $=$ 塩基が受け取る $\text{OH}^-$ の物質量）です。

価数を掛け合わせることで、塩酸 $\text{HCl}$ （1価）と硫酸 $\text{H}_2\text{SO}_4$ （2価）などのモル数の違いを正確に補正します。

문제 15: 波の基本公式において、波の速さ $v$ 、波長 $\lambda$ 、振動数 $f$ 、周期 $T$ の関係式を答えてください。

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정답

$v = f\lambda = \frac{\lambda}{T}$ （ $f = \frac{1}{T}$ ）です。

波が1周期 $T$ 秒の間に波長 $\lambda$ だけ進むことから速さ $v = \lambda / T$ が成り立ちます。

문제 16: オームの法則と電力量（ジュールの法則）の公式を答えてください。

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정답

電圧 $V = RI$ 、消費電力 $P = VI = I^2 R = \frac{V^2}{R}$ 、発熱量（電力量） $Q = P \cdot t = VIt$ です。

直列接続では電流 $I$ が一定、並列接続では電圧 $V$ が等しくなるため、回路設計に合わせて電力式を選択します。

문제 17: 酸化還元反応における「酸化」と「還元」の定義を、電子 $\text{e}^-$ の授受と酸化数の変化で説明してください。

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정답

電子を失い酸化数が増加することを「酸化」、電子を受け取り酸化数が減少することを「還元」といいます。

相手を酸化する物質を酸化剤（自身は還元される）、相手を還元する物質を還元剤（自身は酸化される）と呼びます。

문제 18: 自然数の和の公式 $\sum_{k=1}^n k$ および平方の和 $\sum_{k=1}^n k^2$ を答えてください。

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정답

$\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$ 、 $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ です。

共通テスト数学II・B/Cの数列分野で群数列や漸化式の計算を迅速に行うための必須公式です。

문제 19: 熱力学第一法則の式 $\Delta U = Q + W$ （または $Q = \Delta U + W'$ ）において、各記号が表す物理量を説明してください。

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정답

気体の内部エネルギー変化 $\Delta U$ は、気体に加えられた熱量 $Q$ と気体が外部からされた仕事 $W$ の和に等しいです（気体がした仕事 $W'$ とすれば $\Delta U = Q - W'$ ）。

単原子分子理想気体の場合、内部エネルギーは $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ と温度変化のみに依存します。

문제 20: 共通テスト英語（リーディング）の時間配分と大問ごとの読解戦略として最も有効なアプローチは何ですか？

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정답

設問文と選択肢のキーワードを先に確認（スキャニング）した上で本文を読み、推論問題では本文の言い換え（パラフレーズ）を正確に捉えます。

80分で約6,000語を読解する必要があるため、全訳しようとせず、段落ごとの要点把握と情報検索スピードを両立させます。

大学入学共通テスト 総合演習（数学・理科・英語）

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